Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）在點（0，1）處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對一切x∈R，關于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，建立方程關系即可求a，b的值；
（Ⅱ）將不等式恒成立進行轉化，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性，極值和最值與導數(shù)的關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=e^x+a，
∵函數(shù)f（x）在點（0，1）處的切線與x軸平行，
∴f′（0）=0，
即f′（0）=e⁰+a=1+a=0，則a=-1，
又f（0）=1+b=1，則b=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x-x，
則不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立等價為e^x≥mx+n，
即e^x-mx-n≥0，
設g（x）=e^x-mx-n，則g′（x）=e^x-m，
當m≤0時，g′（x）＞0恒成立，則g（x）在R上遞增，沒有最小值，故不成立，
當m＞0時，由g′（x）=0得x=lnm，
當g′（x）＜0時，得x＜lnm，當g′（x）＞0時，得x＞lnm，
即當x=lnm時，函數(shù)取得最小值g（lnm）=e^lnm-mlnm-n=m-mlnm-n≥0，
即m-mlnm≥n，2m-mlnm≥m+n，
令h（m）=2m-mlnm，則h′（m）=1-lnm，
令h′（m）=0得m=e，
當0＜m＜e時，h（m）單調遞增，當m＞e時，h（m）單調遞減，
故當m=e時，h（m）取得最大值h（e）=e，
∴e≥m+n，
故m+n的最大值為e．

點評 本題主要考查函數(shù)的導數(shù)，導數(shù)的幾何意義，單調性，極值最值以及不等式恒成立問題，考查分類討論，函數(shù)與方程等思想方法以及綜合運算求解能力．