Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax+b（a，b∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)（0，1）處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若對(duì)一切x∈R，關(guān)于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立方程關(guān)系即可求a，b的值；
（Ⅱ）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，極值和最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+a，
∵函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線與x軸平行，
∴f′（0）=0，
即f′（0）=e⁰+a=1+a=0，則a=-1，
又f（0）=1+b=1，則b=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x-x，
則不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立等價(jià)為e^x≥mx+n，
即e^x-mx-n≥0，
設(shè)g（x）=e^x-mx-n，則g′（x）=e^x-m，
當(dāng)m≤0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，則g（x）在R上遞增，沒有最小值，故不成立，
當(dāng)m＞0時(shí)，由g′（x）=0得x=lnm，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，得x＜lnm，當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，得x＞lnm，
即當(dāng)x=lnm時(shí)，函數(shù)取得最小值g（lnm）=e^lnm-mlnm-n=m-mlnm-n≥0，
即m-mlnm≥n，2m-mlnm≥m+n，
令h（m）=2m-mlnm，則h′（m）=1-lnm，
令h′（m）=0得m=e，
當(dāng)0＜m＜e時(shí)，h（m）單調(diào)遞增，當(dāng)m＞e時(shí)，h（m）單調(diào)遞減，
故當(dāng)m=e時(shí)，h（m）取得最大值h（e）=e，
∴e≥m+n，
故m+n的最大值為e．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，單調(diào)性，極值最值以及不等式恒成立問(wèn)題，考查分類討論，函數(shù)與方程等思想方法以及綜合運(yùn)算求解能力．