Question

14．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{4}）cos（ωx+\frac{π}{4}）+sin2ωx+a$（ω＞0）的最大值為1，最小正周期為π．
（Ⅰ）求常數(shù)ω及a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+a，由周期和最值可得；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]，由三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：（1）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{2}$）+sin2ωx+a
=$\sqrt{3}$cos2ωx+sin2ωx+a
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+a，
由題意可得2+a=1，解得a=-1，
由$\frac{2π}{2ω}$=π可得ω=1；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
∵x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，函數(shù)取最小值-$\sqrt{3}$-1；
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最大值1．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及和差角的三角函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．