Question

10．岳陽市為了改善整個城市的交通狀況，對過洞庭大橋的車輛通行能力進(jìn)行調(diào)查．統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示：在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過30輛/千米時，車流速度為85千米/小時，研究表明：當(dāng)30≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．
（1）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）直接列出當(dāng)0≤x≤30時v（x）=85；當(dāng)30≤x≤200時，v（x）=ax+b．利用已知條件求出a，b，然后求出函數(shù)v（x）的表達(dá)式．
（2）求出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}85x，0≤x≤30\\ \frac{1}{2}（200-x）x，30≤x≤200\end{array}\right.$，利用當(dāng)0≤x≤30時，求出函數(shù)的最值；當(dāng)30≤x≤200時，求出函數(shù)的最值．然后得到最大值．

解答 （本題滿分13分）
解：（1）由題意：當(dāng)0≤x≤30時v（x）=85；當(dāng)30≤x≤200時，v（x）=ax+b．
再由已知得$\left\{\begin{array}{l}200a+b=0\\ 30a+b=85\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=100\end{array}\right.$，
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為：v（x）=$\left\{\begin{array}{l}85，0≤x≤30\\ \frac{1}{2}（200-x），30≤x≤200\end{array}\right.$…（6分）
（2）依題意并由（Ⅰ）可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}85x，0≤x≤30\\ \frac{1}{2}（200-x）x，30≤x≤200\end{array}\right.$…（8分）
當(dāng)0≤x≤30時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=30時達(dá)到最大，其最大值為85×30=2550；
當(dāng)30≤x≤200時，f（x）=$\frac{1}{2}x（200-x）=-\frac{1}{2}（x-100）^{2}+5000$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間[30，200]上取得最大值5000，
綜上，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值5000．
即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為5000輛/小時．…（13分）

點評 本小題主要考查函數(shù)、最值等基礎(chǔ)知識，同時考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．