Question

14．已知拋物線方程為y²=-2px，其準線方程為x=$\frac{1}{4}$，直線l：y=k（x+1）與拋物線相交于A，B兩個不同的點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求證：OA⊥OB；
（Ⅱ）當△OAB的面積等于$\sqrt{5}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，證明x₁x₂+y₁y₂=0，即可證明OA⊥OB；
（Ⅱ）連接AB，設直線AB與x軸交于N，由題意，△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|ON||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{（-\frac{1}{k}）^{2}+4}$=$\sqrt{5}$，即可求k的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵拋物線方程為y²=-2px，其準線方程為x=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線方程為y²=-x．
聯(lián)立直線l：y=k（x+1），消去x得，ky²+y-k=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得y₁+y₂=-$\frac{1}{k}$，y₁y₂=-1．
∴x₁x₂=（y₁y₂）²=1
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴OA⊥OB；
（Ⅱ）連接AB，設直線AB與x軸交于N，由題意，k≠0
令y=0則x=-1，即N（-1，0），
∴△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|ON||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{（-\frac{1}{k}）^{2}+4}$=$\sqrt{5}$，
∴k=-±$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查拋物線解析式的求法，考查兩線段垂直的證明，考查三角形面積的計算，是中檔題，解題時要注意橢圓弦長公式的合理運用．