Question

4．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)E為斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則（$\overline{AE}$-$\overline{AM}$）•（$\overline{AC}$-$\overline{AM}$）的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{7}{16}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [$\frac{7}{16}$，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，1]
• D． [0，1]

Answer 1

分析 可分別以AC，AB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，然后可求出圖形上一些點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件設(shè)M（0，y），y∈[0，1]，從而可以求出向量$\overrightarrow{ME}，\overrightarrow{MC}$的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可得到$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AM}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}）$=${y}^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$，這樣配方便可求出二次函數(shù)${y}^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$在[0，1]上的最值，從而便可得出$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AM}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}）$的取值范圍．

解答 解：如圖，分別以AC，AB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：
A（0，0），B（0，1），C（1，0），$E（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$；
設(shè)M（0，y），y∈[0，1]；
∴$\overrightarrow{ME}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}-y），\overrightarrow{MC}=（1，-y）$；
∴$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AM}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}）$=$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MC}={y}^{2}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$=$（y-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{7}{16}$；
∵y∈[0，1]；
∴$y=\frac{1}{4}$時(shí)，$（y-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{7}{16}$取最小值$\frac{7}{16}$；
y=1時(shí)，$（y-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{7}{16}$取最大值1；
∴$（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AM}）•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}）$的取值范圍為$[\frac{7}{16}，1]$．
故選：B．

點(diǎn)評 考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可求向量的坐標(biāo)，向量減法的幾何意義，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，配方求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法．