Question

2．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，以下說法：
①在△ABC中，“a，b，c成等差數(shù)列”是“acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b”的充要條件；
②命題“在銳角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命題和逆否命題均為真命題；
③命題“對任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”為假命題．
正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
②根據(jù)四種命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
③根據(jù)正弦定理進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①若acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
可得sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c為等差數(shù)列；反之也成立，
即，“a，b，c成等差數(shù)列”是“acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b”的充要條件；故①正確，
②在銳角三角形ABC中，則A+B＞$\frac{π}{2}$，于是$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
則sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，即sinA＞cosB成立，則原命題為真命題．則逆否命題也為真命題，
命題“在銳角三角形ABC中，sinA＞cosB”的逆命題為：若sinA＞cosB，則三角形為銳角三角形，
在三角形中，當(dāng)B為鈍角時(shí)，cosB＜0，此時(shí)滿足sinA＞cosB，則命題的逆否命題為假命題．，故②錯(cuò)誤，
③在三角形中，由正弦定理得若“對任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”則等價(jià)為對任意三角形ABC，a+b＞c成立，
即命題“對任意三角形ABC，sinA+sinB＞sinC”為真命題，故③錯(cuò)誤，
故正確的個(gè)數(shù)是1，
故選：B

點(diǎn)評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及四種命題的關(guān)系以及命題真假的判斷，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．