Question

8．求函數(shù)y=$\frac{2sinx-co{s}^{2}x}{1+sinx}$，x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]的最大值．

Answer 1

分析 化簡得到y(tǒng)═（sinx+1）-$\frac{2}{sinx+1}$，再設(shè)sinx+1=t，得到f（t）=t-$\frac{2}{t}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答 解：y=$\frac{2sinx-co{s}^{2}x}{1+sinx}$=$\frac{2sinx-1+si{n}^{2}x}{1+sinx}$=$\frac{（sinx+1）^{2}-2}{sinx+1}$=（sinx+1）-$\frac{2}{sinx+1}$，
設(shè)sinx+1=t，
∵x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴t∈[$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（t）=t-$\frac{2}{t}$，
∴f′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)f（t）在[$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$]為增函數(shù)，
∴f（t）_max=f（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-3．

點評 本題考查了函數(shù)的最值的問題，關(guān)鍵是利用換元法和同角的三角函數(shù)的化簡，屬于中檔題．