Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a₂+a₃=2，且a_n+3-a_n=1，n∈N^*．
（1）求S_3n；
（2）求$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{6}}$+…+$\frac{1}{{S}_{3n}}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a₂+a₃=2，且a_n+3-a_n=1，n∈N^*．可得a₁+a₂+a₃=3，a₄+a₅+a₆=（a₁+1）+（a₂+1）+（a₃+1）=6，…，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）利用（1）可得$\frac{1}{{S}_{3n}}$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂+a₃=2，且a_n+3-a_n=1，n∈N^*．
∴a₁+a₂+a₃=3，a₄+a₅+a₆=（a₁+1）+（a₂+1）+（a₃+1）=6，…，
∴S_3n=3+6+…+3n=$\frac{3n（n+1）}{2}$．
（2）$\frac{1}{{S}_{3n}}$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{6}}$+…+$\frac{1}{{S}_{3n}}$=$\frac{2}{3}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{3n+3}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．