Question

7．已知由整數(shù)組成的數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=a，2S_n=a_na_n+1．
（1）求a₂的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若n=15時(shí)，S_n取得最小值，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得2a₁=a₁a₂，由此能求出a₂=2．
（2）由2S_n=a_na_n+1，得2S_n-1=a_n-1a_n，n≥2，從而a_n+1-a_n-1=2，由此能利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由（2）得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n+a-1）（n+1），n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{2}n（n+a），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，從而S₁₅為最小值等價(jià)于S₁₃≥S₁₅，S₁₅≤S₁₇，由此結(jié)合已知條件能求出a的值．

解答 解：（1）∵2S_n=a_na_n+1，
∴2S₁=a₁a₂，即2a₁=a₁a₂，
∵a₁=a≠0，
∴a₂=2．
（2）∵2S_n=a_na_n+1，∴2S_n-1=a_n-1a_n，n≥2，
兩式相減，得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴{a_2k-1}，{a_2k}都是公差為2的等差數(shù)列，
當(dāng)n=2k-1，k∈N^*時(shí)，a_n=a₁+（k-1）×2=a+n-1，
當(dāng)n=2k，k∈N^*時(shí)，a_n=2+（k-1）×2=2k=n．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（3）∵2S_n=a_na_n+1，${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n為奇數(shù)}\\{n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（n+a-1）（n+1），n為奇數(shù)}\\{\frac{1}{2}n（n+a），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∵所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，所有的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n＞0，∴此時(shí)S_n＞S_n-1，
∴S₁₅為最小值等價(jià)于S₁₃≥S₁₅，S₁₅≤S₁₇，
∴a₁₄+a₁₅≤0，a₁₆+a₁₇≥0，
∴14+15+a-1≤0，16+17+a-1≥0，
解得-32≤a≤-28，
∵數(shù)列{a_n}是由整數(shù)組成的，∴a∈{-32，-31，-30，-29，-28}，
∵a≠0，∴對(duì)所有的奇數(shù)n，a_n=n+a-1≠0，
∴a不能取偶數(shù)，∴a=-31，或a=-29．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的第二項(xiàng)的值的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查使得數(shù)列的前15項(xiàng)和取得最小值的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．