Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx+b，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-2=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）證明：$\frac{f（x）-1}{x-{e}^{x}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求y=f（x）的解析式；
（2）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可證明：$\frac{f（x）-1}{x-{e}^{x}}$＜1．

解答 解：（1）因?yàn)?{f^'}（x）=lnx+\frac{x+a}{x}$，所以f′（1）=1+a=-1，所以a=-2
又點(diǎn)（1，f（1））在切線x+y-2=0上，所以1+b-2=0，所以b=1
所以y=f（x）的解析式為f（x）=（x-2）lnx+1．…．（4分）
（2）令g（x）=x-e^x，（x＞0）
因?yàn)間′（x）=1-e^x所以當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0
所以g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
所以g（x）＜g（0）=-1＜0
所以$\frac{f（x）-1}{g（x）}＜1$等價(jià)于f（x）-1＞g（x）．…．（6分）
我們?nèi)绻�能夠證明f（x）-1＞-1，即f（x）＞0即可證明目標(biāo)成立．
下面證明：對(duì)任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．
由（1）知${f^'}（x）=lnx+\frac{x-2}{x}$，令$h（x）=lnx+\frac{x-2}{x}（x＞0）$
則$h'（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}＞0$，所以h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
又h（1）=-1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x₀∈（1，2）使得h（x₀）=0．
當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0即f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0即f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增；
所以f（x）≥f（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1．由f′（x₀）=0得$ln{x_0}=\frac{2}{x_0}-1$
所以f（x）≥f（x₀）=（x₀-2）lnx₀+1=（x₀-2）（$\frac{2}{{x}_{0}}$-1）+1=5-（x₀+$\frac{4}{{x}_{0}}$）．
令$r（x）=x+\frac{4}{x}（1＜x＜2）$，則r′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-2）（x+2）}{{x}^{2}}$＜0
所以r（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，所以r（x）＜r（1）=5
所以f（x）＞5-（x+$\frac{4}{x}$）＞5-5=0．
綜上，對(duì)任意x∈（0，+∞），$\frac{f（x）-1}{g（x）}＜1$．…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．