13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=$\sqrt{3}$,F(xiàn)為AC上一點(diǎn),且滿足${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{AF}}^{2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FD}$,則$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BF}$=( 。
A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.$\frac{3}{2}$

分析 建立平面直角坐標(biāo)系,代入坐標(biāo)計算.

解答 解:以AD為x軸,以AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.
∴A(0,0),B(0,1),C($\sqrt{3}$,1),D($\sqrt{3}$,0).設(shè)F(a,$\frac{a}{\sqrt{3}}$),則$\overrightarrow{AF}$=(a,$\frac{a}{\sqrt{3}}$),$\overrightarrow{BF}$=(a,$\frac{a}{\sqrt{3}}-1$),
$\overrightarrow{FD}$=($\sqrt{3}$-a,-$\frac{a}{\sqrt{3}}$).
∵${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{AF}}^{2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{FD}$,
∴1=a2+$\frac{{a}^{2}}{3}$+a($\sqrt{3}$-a)-$\frac{a}{\sqrt{3}}$($\frac{a}{\sqrt{3}}-1$).解得a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$.
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BF}$=($\sqrt{3}$,-1)•($\frac{\sqrt{3}}{4}$,-$\frac{3}{4}$)=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$+1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$.
故選D.

點(diǎn)評 本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用,建立平面直角坐標(biāo)系是解題的常用方法.

練習(xí)冊系列答案
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