Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足任意x，y∈R恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)．
（2）求證：f（x）在R上為減函數(shù)．
（3）若f（-1）=2，求f（x）在[-2，4]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）的值令y=-x，可得f（x）與f（-x）的關系，知f（x）的奇偶性；
（2）用定義判定f（x）的單調(diào)性；
（3）利用f（x）的單調(diào)性與奇偶性，可得函數(shù)f（x）在[-2，4]的最大值和最小值

解答 證明：（1）∵對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定義域R上的奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）∵f（-1）=2，
∴f（-2）=4，
f（2）=-4，f（4）=-8
∵f（x）是R上的減函數(shù)；
∴f（x）在[-2，4]的最大值為4，最小值為-8

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判定以及應用問題，是中檔題．