Question

3．如圖所示，某市擬在長為8km道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y=Asinωx（A＞0，ω＞0）（x∈[0，4]）的圖象，且圖象的最高點為S（3，2$\sqrt{3}$），賽道的后一部分為折線段MNP，且∠MNP=120°
（1）求M、P兩點間的直線距離；
（2）求折線段賽道MNP長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意結(jié)合圖象求得A和T，進一步求出ω，則函數(shù)解析式可求，代入M的橫坐標求得的坐標，由兩點間的距離公式求得MP的值；
（2）在△MNP中，設出∠PMN=θ，由正弦定理把PN、MN用含θ的代數(shù)式表示，化簡后利用三角函數(shù)求得最值．

解答 解：（1）依題意，有A=$2\sqrt{3}$，
又$\frac{T}{4}=3$，T=12，∴ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{12}=\frac{π}{6}$，
∴y=$2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}x$，
當x=4時，$y=2\sqrt{3}sin\frac{π}{6}×4=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$．
∴M（4，3），又P（8，0），
∴MP=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$；
（2）在△MNP中，
∠MNP=120°，MP=5，設∠PMN=θ，則0°＜θ＜60°，
由正弦定理得：$\frac{MP}{sin120°}=\frac{NP}{sinθ}=\frac{MN}{sin（60°-θ）}$，
∴$PN=\frac{10\sqrt{3}}{3}sinθ$，$MN=\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（60°-θ）$，
故NP+MN=$\frac{10\sqrt{3}}{3}sinθ+\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（60°-θ）$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}sin（60°+θ）$．
∵0°＜θ＜60°，
∴當θ=30°時，折線段賽道MNP最長．

點評 本題考查y=Asin（ωx+φ）的圖象的求法，訓練了利用正余弦定理求解三角形，是中檔題．