Question

2．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在平面內(nèi)將矩形ABCD繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形A′BC′D′，則點D′到直線AB的距離是$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 畫出圖形，利用三角函數(shù)的關(guān)系，通過兩角和的正弦函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解即可．

解答 解：連結(jié)BD，D′B，設(shè)∠DBA=α，由題意可知：BD=$\sqrt{5}$，D′B=$\sqrt{5}$．
tan$α=\frac{1}{2}$，
∠D′BA=α+60°，sin²（α+60°）=（sinαcos60°+cosαsin60°）²=（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）²
=$\frac{1}{4}{sin}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα+\frac{3}{4}{cos}^{2}α$
=$\frac{\frac{1}{4}{sin}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα+\frac{3}{4}{cos}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$
=$\frac{\frac{1}{4}{tan}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}tanα+\frac{3}{4}}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{\frac{1}{4}×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}{{（\frac{1}{2}）}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{5}}$．
點D′到直線AB的距離：
∴sin（α+60°）=$\frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{5}}×\sqrt{5}$=$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$，
故答案為：$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$．

點評 本題考查三角形中的基本運算，兩角和的正弦函數(shù)的應用，考查計算能力．