Question

8．銳角△ABC中，已知a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，則bc的取值范圍（2，3]．

Answer 1

分析 由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，結(jié)合已知可先表示b，c，然后由△ABC為銳角三角形及B+C=120°可求B的范圍，再把所求的bc用sinB，cosB表示，利用三角公式進行化簡后，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求bc的范圍．

解答 解：由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵△ABC為銳角三角形，
∴0°＜B＜90°，0°＜C＜90°且B+C=120°，
∴30°＜B＜90°
∵bc=4sinBsin（120°-B）
=4sinB（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）
=2$\sqrt{3}$sinBcosB+2sin²B
=$\sqrt{3}$sin2B+（1-cos2B）
=2sin（2B-30°）+1，
∵30°＜B＜90°，
∴30°＜2B-30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2B-30°）≤1，
∴2＜2sin（2B-30°）+1≤4，
即2＜bc≤3，
故答案為：（2，3]．

點評 本題綜合考查了正弦定理和面積公式及兩角和與差的正弦、余弦公式及輔助角公式的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握基本公式并能靈活應用，屬于中檔題．