Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³-x．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若過點(diǎn)P（2，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線的方程，代入（2，t），令g（x）=2x³-6x²+t+2，求得極值，令極大值大于0，極小值小于0，解不等式即可得到t的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-1，
當(dāng)-2＜x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
所以，當(dāng)$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，f（x）有最大值$f（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$；
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為$（{x_0}，x_0^3-{x_0}）$，切線斜率$k=3x_0^2-1$，
從而切線方程為$y-（x_0^3-{x_0}）=（3x_0^2-1）（x-{x_0}）$，
又過點(diǎn)P（2，t），所以$t-（x_0^3-{x_0}）=（3x_0^2-1）（2-{x_0}）$，
整理得$2x_0^3-6x_0^2+t+2=0$，
令g（x）=2x³-6x²+t+2，則g′（x）=6x²-12x，
由g′（x）=0得x=0或x=2，
當(dāng)x變化時(shí)，g（x）與g′（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

于是，$\left\{\begin{array}{l}g（0）=t+2＞0\\ g（2）=t-6＜0\end{array}\right.$，所以-2＜t＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．