Question

2．已知四棱錐P-ABCD，它的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠ABC=120°，PC⊥平面ABCD，又PC=a，E為PA的中點(diǎn)．
（1）求證：平面EBD⊥平面ABCD；
（2）求點(diǎn)E到平面PBC的距離；
（3）求二面角A-BE-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)EO，由三角形中位線定理得EO∥PC．由線面垂直得EO⊥平面ABCD，由此能證明平面EBD⊥平面ABCD．
（2）過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，OF為O到平面PBC的距離，OF的長(zhǎng)即為E到平面PBC的距離，由此能求出點(diǎn)E到平面PBC的距離．
（3）過O作OH⊥BE于點(diǎn)H，連結(jié)AH，∠OHA為所求二面角的平面角，由此能求出二面角A-BE-D的大�。�

解答 （1）證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)EO．
∵E、O分別是PA、AC的中點(diǎn)，
∴EO∥PC．又PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD．
（2）解：過O作OF⊥BC于點(diǎn)F，則OF為O到平面PBC的距離．
由于EO∥平面PBC，
∴OF的長(zhǎng)即為E到平面PBC的距離，OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
即點(diǎn)E到平面PBC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．
（3）解：過O作OH⊥BE于點(diǎn)H，連結(jié)AH，
則∠OHA為所求二面角的平面角，
在Rt△BOE中，OH=$\frac{OB×OE}{BE}$=$\frac{\frac{a}{2}×\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴tan∠OHA=$\frac{OA}{OH}$=$\sqrt{6}$．
故二面角A-BE-D的大小為arctan$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．