Question

17．已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，則a₁₂=$\frac{1}{6}$．．

Answer 1

分析 由a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，變形$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，（n≥2）．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a₂=1，且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}+\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，（n≥2）．
∴正項數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
∴a₁₂=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．