Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$，求：
（1）求它的定義域；
（2）f（a）+f（$\frac{1}{a}$）的值．
（3）f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）的值．

Answer 1

分析 （1）由分母不為零求出函數(shù)的定義域；
（2）代入函數(shù)的解析式化簡f（a）+f（$\frac{1}{a}$）即可；
（3）由奇偶函數(shù)的定義判斷f（x）是偶函數(shù)，由（2）的結(jié)論求出f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）的值．

解答 解：（1）由1-x²≠0得，x≠±1，
所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}；
（2）f（a）+f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1+{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1+\frac{1}{{a}^{2}}}{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$
=$\frac{1+{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$=0；
（3）由（1）可得函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
因?yàn)閒（-x）=$\frac{1+{（-x）}^{2}}{1-{（-x）}^{2}}$=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
則f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（-2）+f（-3）
=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（2）+f（3）
=0．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的定義域、奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．