Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)，若f（1）=0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由f（1）=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1，又f（0）=0，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，分類討論滿足條件的實數(shù)a的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：由f（1）=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1，又f（0）=0
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間
因為f（x）=e^x-ax²-bx-1所以g（x）=f'（x）=e^x-2ax-b
又g'（x）=e^x-2a
因為x∈[0，1]，1≤e^x≤e所以：
①若$a≤\frac{1}{2}$，則2a≤1，g'（x）=e^x-2a≥0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上單增，
②若$a≥\frac{e}{2}$，則2a≥e，g'（x）=e^x-2a≤0
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上單減，
于是，當$a≤\frac{1}{2}$或$a≥\frac{e}{2}$時，函數(shù)g（x）即f'（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求． 
③若$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$，則1＜2a＜e，
于是當0＜x＜ln（2a）時g'（x）=e^x-2a＜0，當ln（2a）＜x＜1時g'（x）=e^x-2a＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，ln（2a））上遞減，在區(qū)間（ln（2a），1）上遞增，
當x=ln（2a）時，函數(shù)取最小值3a-2aln（2a）-e-1，
令h（x）=$\frac{3}{2}x$-xln（x）-e-1，（1＜x＜e），
則h′（x）=$\frac{1}{2}$-lnx，
當x∈（1，$\sqrt{e}$）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，
當x∈（$\sqrt{e}$，e）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
故當x=$\sqrt{e}$時，h（x）取最大值$\sqrt{e}$-e-1＜0，
即函數(shù)g（x）_min＜0恒成立，
于是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，
$\left\{\begin{array}{l}g（0）=2-e+a＞0\\ g（1）=-a+1＞0\end{array}\right.$，
解得：e-2＜a＜1，
又∵$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$，
∴e-2＜a＜1，
綜上所述，a的取值范圍為（e-2，1）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點與方程的根，轉(zhuǎn)化思想，分類說討論思想，綜合性強，轉(zhuǎn)化困難，屬于難題．