Question

8．已知圓 x²+y²-4x+2y-3=0和圓外一點M （ 4，-8 ）．
（Ⅰ） 過M作圓的切線，切點為C、D，求切線長及CD所在直線的方程；
（Ⅱ） 過M作圓的割線交圓于A，B兩點，若|AB|=4，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切線的性質(zhì)可知，切線長、半徑、M點到圓心距離滿足勾股定理，則切線長可求；再利用切點與點M的連線和半徑垂直以及切點C，D都在圓上列出方程組，兩式相減即可得到CD所在直線的方程；
（Ⅱ）先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心O和半徑，再根據(jù)弦長為4，結(jié)合垂徑定理得到圓心到直線AB的距離，則就可以利用點到直線的距離公式求出直線AB的斜率，問題獲解．

解答 解：x²+y²-4x+2y-3=0可化為：（x-2）²+（y+1）²=8，所以圓心E為（2，-1），半徑r=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）易知|MO|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（-8+1）^{2}}$=$\sqrt{53}$，∴切線長l=$\sqrt{53-8}$=3$\sqrt{5}$．
由題意得，以EM為直徑的圓的方程為x²+y²-6x+9y+16=0，
與x²+y²-4x+2y-3=0兩式相減得CD方程為2x-7y-19=0．
（Ⅱ）由題意設(shè)割線方程為y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0 ①，
∵半徑r=2$\sqrt{2}$，|AB|=4，∴圓心到割線距離d=2，
∴$\frac{|2k+1-4k-8|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=-$\frac{45}{28}$，代入①得直線方程為45x+28y+44=0；經(jīng)驗證，x=4也符合題意．
∴直線AB方程為45x+28y+44=0或x=4．

點評 有關(guān)圓的弦長問題一般會用到垂徑定理，側(cè)重考查圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．