Question

12．關(guān)于函數(shù)$f（x）=ax+\frac{x}$有如下四個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）為定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)；   
②當ab＞0時，$（{\sqrt{\frac{a}}，+∞}）$是函數(shù)f（x）的一個單調(diào)區(qū)間；
③當ab＞0，x∈[1，2]時，若f（x）_min=2，則$b=\left\{\begin{array}{l}2-a（\frac{a}＜1）\\ \frac{1}{a}\begin{array}{l}{\;}{（1≤\frac{a}＜4）}\end{array}\\ 4-4a（{\frac{a}≥4}）\end{array}\right.$；
④當ab＜0，x∈[1，2]時，若f（x）_min=2，則$b=\left\{\begin{array}{l}2-a（{a＜0，b＞0}）\\ 4-4a（{a＞0，b＜0}）\end{array}\right.$．
其中正確的結(jié)論有②．

Answer 1

分析 先求導，再分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系即可判斷．

解答 解：∵f（x）=ax+$\frac{x}$，
∴f′（x）=a-$\frac{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$=$\frac{a（{x}^{2}-\frac{a}）}{{x}^{2}}$，
（1）當ab＜0時，
當a＞0，b＜0時，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=2=f（1）=a+b，即b=2-a，
當a＜0，b＞0時，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=2=f（2）=2a+$\frac{2}$，即b=4-4a，
（2）當ab＞0時，
令f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{\frac{a}}$，
當a＞0，b＞0時，f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}}$），（$\sqrt{\frac{a}}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（-$\sqrt{\frac{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{a}}$）單調(diào)遞減，
當$\sqrt{\frac{a}}$＜1時，即$\frac{a}$＜1時，
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=2=f（1）=a+b，即b=2-a，
當$\sqrt{\frac{a}}$＞2時，即$\frac{a}$＞4時，
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=2=f（2）=2a+$\frac{2}$，即b=4-4a，
當1≤$\sqrt{\frac{a}}$≤2時，即1≤$\frac{a}$≤4時，
∴f（x）在[1，$\sqrt{\frac{a}}$]單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{a}}$，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=2=f（$\sqrt{\frac{a}}$）=a•$\sqrt{\frac{a}}$+$\frac{\sqrt{\frac{a}}}$=2，即b=$\frac{1}{a}$，
當a＜0，b＜0時，f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}}$），（$\sqrt{\frac{a}}$，+∞）上單調(diào)遞減，在（-$\sqrt{\frac{a}}$，0），（0，$\sqrt{\frac{a}}$）單調(diào)遞增，
當$\sqrt{\frac{a}}$＜1時，即$\frac{a}$＜1時，
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=2=f（2）=2a+$\frac{2}$，即b=4-4a，
當$\sqrt{\frac{a}}$＞2時，即$\frac{a}$＞4時，
∴f（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=2=f（1）=a+b，即b=2-a，
當1≤$\sqrt{\frac{a}}$≤2時，即1≤$\frac{a}$≤4時，
∴f（x）在[1，$\sqrt{\frac{a}}$]單調(diào)遞增，在（$\sqrt{\frac{a}}$，2]上單調(diào)遞減，
∵f（1）=a+b，f（2）=2a+$\frac{2}$，
當1≤$\frac{a}$≤2時，f（1）≥f（2），f（x）_min=2=f（2）=2a+$\frac{2}$，即b=4-4a，
當2＜$\frac{a}$≤4，f（1）≤f（2），f（x）_min=2=f（1）=a+b，即b=2-a，
綜上所述：②正確，①③④其余不正確
故答案為：②

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)和函數(shù)的最值得關(guān)系，關(guān)鍵是分類，屬于中檔題．