Question

13．已知f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）若函數(shù)g（x）=（2^x+1）•f（x）+k有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）對(duì)任意x₁∈（0，1），總存在x₂∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，使不等式f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得g（x）=0，即為1-k=2^x，由指數(shù)函數(shù)的值域，即可得到所求范圍；
（2）當(dāng)x₂∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，運(yùn)用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得g（x₂）的最小值為g（-$\frac{π}{6}$）=-2，由題意可得f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞-2，即m＜$\frac{3•{2}^{x}+1}{{2}^{x}（{2}^{x}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（0，1）恒成立，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得右邊函數(shù)的值域，再由恒成立思想即可得到所求范圍．

解答 解：（1）g（x）=（2^x+1）•f（x）+k=2^x-1+k，
由題意可得g（x）=0，即為1-k=2^x，由2^x＞0，
可得k＜1；
（2）當(dāng)x₂∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
則g（x₂）的最小值為g（-$\frac{π}{6}$）=-2，
即有不等式f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞g（x₂）成立，
即為f（x₁）-m•2${\;}^{{x}_{1}}$＞-2，
即m＜$\frac{3•{2}^{x}+1}{{2}^{x}（{2}^{x}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（0，1）恒成立，
由h（x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（0，1）遞減，可得h（x）的值域?yàn)椋?\frac{7}{6}$，2），
可得m≤$\frac{7}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的值域，同時(shí)考查不等式恒成立和存在性問(wèn)題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運(yùn)用單調(diào)性和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．