Question

7．斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且被拋物線所截得弦AB的長為4．
（1）求實(shí)數(shù)p的值；
（2）點(diǎn)P是拋物線E上一點(diǎn)，線段CD在y軸上，△PCD的內(nèi)切方程為（x-1）²+y²=1，求△PCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得p=1，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），C（0，c），D（0，d）不妨設(shè)c＞d，直線PC的方程為y-c=$\frac{{y}_{0}-c}{{x}_{0}}$x，由直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，結(jié)合韋達(dá)定理，以及三角形的面積公式，運(yùn)用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），直線l的方程：y=x-$\frac{p}{2}$，
與拋物線E：y²=2px聯(lián)立消去y得（x-$\frac{p}{2}$）²=2px，
∴x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
所以，3p+p=4，p=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），C（0，c），D（0，d）不妨設(shè)c＞d，
直線PC的方程為y-c=$\frac{{y}_{0}-c}{{x}_{0}}$x，
化簡得（y₀-c）x-x₀y+x₀c=0，又圓心（1，0）到直線PC的距離為1，
故$\frac{|{y}_{0}-c+{x}_{0}c|}{\sqrt{（{y}_{0}-c）^{2}+{{x}_{0}}^{2}}}$=1，即（y₀-c）²+x₀²=（y₀-c）²+2x₀c（y₀-c）+x₀²c²，
不難發(fā)現(xiàn)x₀＞2，上式又可化為（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
同理有（x₀-2）d²+2y₀d-x₀=0，
所以c，d可以看做關(guān)于t的一元二次方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
則c+d=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，cd=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$
因?yàn)辄c(diǎn)P（x₀，y₀）是拋物線Γ上的動(dòng)點(diǎn)，所以y₀²=2x₀，
所以（c-d）²=（c+d）²-4cd=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$，
又x₀＞2，所以c-d=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$．
所以S_△PBC=$\frac{1}{2}$（c-d）x₀=x₀-2+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥2×2+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)取等號，此時(shí)y₀=±2$\sqrt{2}$，
所以△PBC面積的最小值為8，此時(shí)P（4，±2$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查定義法和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，直線和圓相切的條件：d=r，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．