Question

10．已知關于x的方程$\frac{lg（x-a）}{lgx-lg3}$=2．
（1）當a=1時，解此方程；
（2）若方程僅有一個實數(shù)解，求a的取值的范圍，并求此解．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，方程$\frac{lg（x-1）}{lgx-lg3}$=2可化為x-1=$\frac{{x}^{2}}{9}$，解得答案；
（2）方程$\frac{lg（x-a）}{lgx-lg3}$=2可化為$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0，結(jié)合原式中x＞0，x＞a，x≠3，分類討論滿足條件的a的取值的范圍，可得答案．

解答 解：（1）當a=1時，方程$\frac{lg（x-1）}{lgx-lg3}$=2可化為：lg（x-1）=2lgx-2lg3=lg$\frac{{x}^{2}}{9}$，
則x-1=$\frac{{x}^{2}}{9}$，
解得：x=$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$，或x=$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$
（2）方程$\frac{lg（x-a）}{lgx-lg3}$=2可化為：lg（x-a）=2lgx-2lg3=lg$\frac{{x}^{2}}{9}$，
即x-a=$\frac{{x}^{2}}{9}$，即$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0．
若x=3，滿足$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0，則a=2，此時方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+2=0還有另一解x=6滿足條件；
若a＜0，則方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0兩根異號，其中負根不能做為真數(shù)舍去，另一解為：x=$\frac{9+3\sqrt{9-4a}}{2}$，滿足條件；
若a=0，則方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x=0有兩根，x=9，x=0，其中0不能做為真數(shù)舍去，滿足條件；
若a=$\frac{9}{4}$，則方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0有兩等根，x=$\frac{9}{2}$，滿足條件；
若0＜a＜$\frac{9}{4}$，且a≠2，則方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0有兩相異正根，均滿足原方程不合題意；
若a＞$\frac{9}{4}$，則方程$\frac{{x}^{2}}{9}$-x+a=0無解，則原方程也無解不合題意；
綜上所述，a≤0，或a=$\frac{9}{4}$，或a=2

點評 本題考查的知識點是對數(shù)方程的解法，分類討論思想，難度較大，分類復雜．