Question

2．已知函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）滿足f（x）=g（x）+m，（m∈R），其中g(shù)（x）=$\frac{2}{{4}^{x}-1}$；
（I）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值；
（II）求g（-2015）+g（-2014）+…+g（-2）+g（-1）+g（1）+g（2）+…+g（2014）+g（2015）的值．

Answer 1

分析 （I）求得f（x）的定義域，再由奇函數(shù)的定義可得f（-x）+f（x）=0，化簡整理，即可得到m的值；
（II）求得g（-x）+g（x）=-2，再由倒序相加求和，計算即可得到所求和．

解答 解：（I）f（x）=g（x）+m=$\frac{2}{{4}^{x}-1}$+m，
定義域為{x|x≠0，且x∈R}，關(guān)于原點對稱．
由f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=0，
即為$\frac{2}{{4}^{-x}-1}$+$\frac{2}{{4}^{x}-1}$+2m=0，
即有$\frac{2•{4}^{x}-2}{1-{4}^{x}}$+2m=0，解得m=1；
（II）g（-x）+g（x）=$\frac{2}{{4}^{-x}-1}$+$\frac{2}{{4}^{x}-1}$=$\frac{2•{4}^{x}-2}{1-{4}^{x}}$=-2，
即有S=g（-2015）+g（-2014）+…+g（-2）+g（-1）+
g（1）+g（2）+…+g（2014）+g（2015），
S=g（2015）+g（2014）+…+g（-2014）+g（-2015），
相加可得2S=[g（-2015）+G（2015）]+…+[g（2015）+g（-2015）]
=-2+…+（-2）=-2×4030，
解得S=-4030．
故所求和為-4030．

點評 本題考查奇函數(shù)的定義的運用，考查倒序相加求和，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．