Question

11．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求tanα的值．
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，求$\frac{2si{n}^{2}α+sin2α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，（1）由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得到C是線段AB的垂直平分線與單位圓的交點(diǎn)；由此得到tanα；
（2）由已知的點(diǎn)的坐標(biāo)得到向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求出α，代入代數(shù)式利用倍角公式等計(jì)算．

解答 解：由已知得到$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
所以：（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，得到（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，解得sinα=cosα，所以tanα=1；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，則（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，整理得1-3$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）=-1，所以sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，所以cos（2α$+\frac{π}{2}$）=1-2sin²（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{9}$=-sin2α，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+sin2α}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{1+\frac{sinα}{cosα}}=2sinαcosα=sin2α$=-$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值；用到了向量的數(shù)量積公式、倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式．