Question

13．若二項式（$\sqrt{x}$-$\frac{{x}^{2}}$）ⁿ的展開式中二項式系數之和是1024，常數項為90，則展開式中第5項為840x^-5．

Answer 1

分析 利用二項式系數之和是1024，可確定n的值，利用展開式的通項公式及常數項為90，可求實數b的值，即可求出展開式中第5項．

解答 解：由題意，2ⁿ=1024，則n=10
展開式的通項為：T_r+1=${C}_{10}^{r}•（\sqrt{x}）^{10-r}•（-\frac{{x}^{2}}）^{r}$=$（-b）^{r}•{C}_{10}^{r}•{x}^{5-\frac{5}{2}r}$
令5-$\frac{5}{2}$r=0，則r=2，
∴$（-b）^{2}•{C}_{10}^{2}$=90
∴b=±$\sqrt{2}$，
∴展開式中第5項為T₄₊₁=4×210=840x^-5．
故答案為：840x^-5．

點評 本題考查二項式系數的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．