Question

12．將圓x²+y²=1上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?nbsp;3 倍，得曲線 Γ．
（Ⅰ）寫出Γ的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設直線 l：3x+2y-6=0與 Γ 的交點為P₁，P₂，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P₁P₂的中點且與l 垂直的直線的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）首先，設出所求點的坐標，然后，建立坐標之間的關系式，求解其普通方程，再將其化為參數(shù)方程即可；
（2）聯(lián)立方程組，然后，解得兩個交點坐標，從而確定其中點坐標，從而求解其直線方程，再化為極坐標形式即可．

解答 解：（1）設點（x₁，y₁）為圓上的任意一點，在已知變換下變?yōu)門上點（x，y），
根據(jù)題意，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}_{1}}\\{y=3{y}_{1}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，
根據(jù)${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$，得$（\frac{x}{2}）^{2}+（\frac{y}{3}）^{2}=1$，即曲線T的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
所以，曲線T的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{3x+2y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
不妨設點P₁（2，0），P₂（0，3），則線段的中點坐標為（1，$\frac{3}{2}$），
所求直線的斜率k=$\frac{3}{2}$，于是所求直線方程為：y-$\frac{3}{2}$=$\frac{2}{3}$（x-1），
即4x-6y+5=0，
將此化為極坐標方程，得到4ρcosθ-6ρsinθ+5=0．

點評 本題重點考查了直線的參數(shù)方程和普通方程、極坐標方程的互化等知識，考查了直線方程有關內容，屬于中檔題．