Question

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，點M在橢圓上，且滿足MF₁⊥x軸，|MF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線y=kx+2交橢圓于A、B兩點，求△ABO（O為坐標原點）面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和通徑長公式，結合橢圓的a，b，c的關系，解方程即可得到a，b的值，今兒得到橢圓方程；
（2）直線l：y=kx+2與橢圓聯(lián)立，表示出△AOB面積，利用韋達定理，結合換元，基本不等式，即可求△AOB面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c
∵b²=a²-c²=a²-$\frac{1}{3}$a²=$\frac{2}{3}$a²①．
∵MF₁⊥x軸
∴|MF₁|=$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$②
由①②可得a=2$\sqrt{3}$，b²=8
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l：y=kx+2與橢圓聯(lián)立可得（2+3k²）x²+12kx-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{12k}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{12}{2+3{k}^{2}}$，
又原點到直線l：y=kx+2的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|d
=|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{96（1+3{k}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=1+3k²（t≥1），
則S²=$\frac{96t}{1+2t+{t}^{2}}$=$\frac{96}{t+\frac{1}{t}+2}$≤$\frac{96}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}+2}$=24．
當且僅當t=1，即k=0時，△AOB面積的最大值為2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查橢圓的方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．