Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)．

(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程；

(2)證明：直線l和曲線C相交，并求相交弦的長度．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

(1)按照兩角差的正弦公式和極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問得到的圓的普通方程可求得圓的圓心和坐標(biāo)，再由垂徑定理構(gòu)造直角三角形,得到弦長.

（1） 因為直線的極坐標(biāo)方程為：

所以，即為

因為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為

即為

由曲線的參數(shù)方程 得，兩式平方做和

得到

所以曲線的普通方程為

（2） 由（1）得，圓 的圓心為，半徑

因為圓心到直線的距離

所以直線與圓相交

設(shè)交點為，則

所以，相交弦的長度為.