Question

16．如圖所示的直角坐標(biāo)平面上有三點(diǎn)A（-1，1），B（1，-1），D（1，4）．
（1）求滿足等式x²$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$的實(shí)數(shù)x；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$以A為始點(diǎn)，求其終點(diǎn)C的坐標(biāo)并計(jì)算四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)公式根據(jù)等式x²$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，建立方程關(guān)系即可求x；
（2）根據(jù)向量的基本定理建立方程關(guān)系即可求出C的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵A（-1，1），B（1，-1），D（1，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，-2），$\overrightarrow{AD}$=（2，3），$\overrightarrow{DB}$=（0，-5），
∵x²$\overrightarrow{AB}$+x$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{DB}$，
∴x²（2，-2）+x（2，3）=（0，-5），
即（2x²+2x，3x-2x²）=（0，-5），
則$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2x=0}\\{3x-2{x}^{2}=-5}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0或x=-1}\\{x=-1或x=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得x=-1．
（2）$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=（2，-2）+（2，3）=（4，1）=$\overrightarrow{AC}$，
設(shè)C（x，y），則（x+1，y-1）=（4，1），
即$\left\{\begin{array}{l}{x+1=4}\\{y-1=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（3，2）．
∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
則BD=4-（-1）=5，A到BD的距離AE=1-（-1）=2，
則△ABD的面積S_△ABD=$\frac{1}{2}AE•BD=\frac{1}{2}×2×5=5$，
則四邊形ABCD的面積S=2S_△ABD=2×5=10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的應(yīng)用，要求熟練掌握向量的坐標(biāo)公式以及坐標(biāo)的基本運(yùn)算．