Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為R．對于正數(shù)K，定義“Ψ”函數(shù)f_Ψ（x）=

f(x)， f(x)≤K K， f(x)＞K

，若f（x）=2-x-e^-x，恒有f_Ψ（x）=f（x），則K的最小值為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)新定義的函數(shù)建立fφ（x）與f（x）之間的關(guān)系，通過二者相等得出實數(shù)k滿足的條件，利用導(dǎo)數(shù)或者函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，進(jìn)而求出k的范圍，進(jìn)一步得出所要的結(jié)果．

解答： 解：由題意可得出k≥f（x）_最大值，
由于f′（x）=-1+e^-x，令f′（x）=0，e^-x=1=e⁰解出-x=0，即x=0，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
故當(dāng)x=0時，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故當(dāng)k≥1時，恒有fφ（x）=f（x）．
因此K的最小值是1．
故答案為：1．

點評：本題考查學(xué)生對新定義型問題的理解和掌握程度，理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，將所求解的問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，利用了導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了恒成立問題的解題思想．