Question

15．設(shè)f（x）是（x²+$\frac{1}{2x}$）⁶展開式的中間項(xiàng)，若存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使f（x）≤mx成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{5}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{5}{4}$]
• C． （$\frac{5}{4}$，+∞）
• D． [$\frac{5}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 由條件利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得f（x）=$\frac{5}{2}$x³．由于存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使m≥$\frac{5}{2}$x² 成立，可得m大于或等于$\frac{5}{2}$x² 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]上的最小值．

解答 解：（x²+$\frac{1}{2x}$）⁶的展開式共有7項(xiàng)，∴中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，
∵（x²+$\frac{1}{2x}$）⁶展開式的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（x²）^6-r•${（\frac{1}{2x}）}^{r}$=${（\frac{1}{2}）}^{r}$•${C}_{6}^{r}$•x^12-3r，
令r=3得 T₄=$\frac{1}{8}$•${C}_{6}^{3}$•x³=$\frac{5}{2}$x³，∴f（x）=$\frac{5}{2}$x³．
∵存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使f（x）≤mx成立，
∴存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使$\frac{5}{2}$x³≤mx成立，
∴存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]使m≥$\frac{5}{2}$x² 成立，
∴m大于或等于$\frac{5}{2}$x² 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]上的最小值．
當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$\frac{5}{2}$x² 有最小值$\frac{5}{4}$，∴m≥$\frac{5}{4}$，
故選項(xiàng)：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．