Question

3．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）
（1）如果函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，得f（0）=a-1=0，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)大于0，證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)x無(wú)限趨近于-∞時(shí)，f（x）無(wú)限趨近于a-2，可得a-2≥0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）解：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，得f（0）=a-1=0，所以a=1．…（2分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)，符合題意．
所以，a=1．…（4分）
（2）證明：因?yàn)閒（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$…（6分）
所以f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0．…（8分）
所以，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．…（9分）
（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)x無(wú)限趨近于-∞時(shí)，f（x）無(wú)限趨近于a-2．
所以a-2≥0．所以a≥2．…（11分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查單調(diào)性的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．