Question

2．已知角A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其對邊分別為a、b、c，若a²=b²+c²+bc，且a=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若△ABC的面積S=$\sqrt{3}$，求b+c的值；     
（Ⅱ）求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可求cosA=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），可求A．又由三角形面積公式可求bc，利用余弦定理即可解得b+c的值．
（Ⅱ）由正弦定理及三角形內(nèi)角和定理可得b+c=4sin（B+$\frac{π}{3}$），根據(jù)范圍0＜B＜$\frac{π}{3}$，利用正弦函數(shù)的有界性即可求得b+c的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵a²=b²+c²+bc，∴$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=-\frac{1}{2}$，即cosA=-$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{2π}{3}$．又由S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，所以bc=4，
由余弦定理得：12=a²=b²+c²-2bc•cos$\frac{2π}{3}$=b²+c²+bc，
∴16=（b+c）²，故b+c=4．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得：$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=4，又B+C=π-A=$\frac{π}{3}$，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（$\frac{π}{3}$-B）=4sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵0＜B＜$\frac{π}{3}$，則$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，則$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{3}$）≤1，
即b+c的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．