Question

7．已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^1-x（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）-g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x∈R}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）討論a的值，根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的單調(diào)性，判斷G（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^1-x（其中a＞0且a≠1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x∈R}\end{array}\right.$，
解得x＞-1，
∴函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}；
（2）∵f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^1-x=a•a^-x=a•${（\frac{1}{a}）}^{x}$，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，0＜$\frac{1}{a}$＜1，f（x）是增函數(shù)，g（x）是減函數(shù)，
∴G（x）=f（x）-g（x）是增函數(shù)；
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，$\frac{1}{a}$＞1，f（x）是減函數(shù)，g（x）是增函數(shù)，
∴G（x）=f（x）-g（x）是減函數(shù)；
綜上，a＞1時(shí)，G（x）=f（x）-g（x）是增函數(shù)，
1＞a＞0時(shí)，G（x）=f（x）-g（x）是減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．