Question

5．已知圓M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.（φ$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓N的極坐標(biāo)方程為$ρ=2cos（θ+\frac{π}{3}）$．
（1）將圓M的參數(shù)方程化為普通方程，將圓N的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）圓M，N是否相交，若相交，請(qǐng)求出公共弦長(zhǎng)，若不相交請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用同角的平方關(guān)系可得圓M的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，結(jié)合兩角和的余弦公式，化簡(jiǎn)配方即可得到圓N的方程；
（2）由圓心距與半徑的和與差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系，求得交點(diǎn)，可得弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）由cos²φ+sin²φ=1，可得
圓M的普通方程為：x²+y²=1；
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=2（$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），
即有x²+y²=x-$\sqrt{3}$y，
配方可得，圓N直角坐標(biāo)方程為：${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}=1$；
（2）圓心（0，0）和圓心（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距離為d=1＜2，
所以兩圓相交，
設(shè)交點(diǎn)為A，B，則由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\{x^2}+{y^2}-x+\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，
得$A（1，0），B（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，∴$|AB|=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查兩圓的位置關(guān)系的判斷和弦長(zhǎng)的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．