Question

8．如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使A移到A₁點(diǎn)，且A₁在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A₁O⊥平面DBC．
（Ⅰ）求證：BC⊥A₁D；
（Ⅱ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由線面垂直得A₁O⊥BC，再由BC⊥DC，能證明BC⊥A₁D．
（Ⅱ）由BC⊥A₁D，A₁D⊥A₁B，得A₁D⊥平面A₁BC，由此能證明平面A₁BC⊥平面A₁BD．
（III）由${V}_{C-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-DBC}$，能求出點(diǎn)C到平面A₁BD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵A₁O⊥平面DBC，∴A₁O⊥BC，
又∵BC⊥DC，A₁O∩DC=O，
∴BC⊥平面A₁DC，∴BC⊥A₁D．
（Ⅱ）∵BC⊥A₁D，A₁D⊥A₁B，BC∩A₁B=B，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
又∵A₁D?平面A₁BD，
∴平面A₁BC⊥平面A₁BD．
解：（III）設(shè)C到平面A₁BD的距離為h，
∵${V}_{C-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-DBC}$，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}BD}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△DBC}•{A}_{1}O$，
又∵${S}_{△{A}_{1}BD}$=S_△DBC，${A}_{1}O=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，∴$h=\frac{24}{5}$．
∴點(diǎn)C到平面A₁BD的距離為$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查面面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．