Question

13．已知傾斜角為45°的直線l過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則△OAB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為（　�。�

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求弦AB的長，再求出原點(diǎn)到直線的距離，即可求得△OAB的面積．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
∵直線l：y=x+b經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，
∴b=-1，
∴直線l：y=x-1，
由拋物線的定義：|AB|=x_A+x_B+2，
將直線與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得x²-6x+1=0，
∴x_A+x_B=6，
∴|AB|=8，
∵原點(diǎn)到直線的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}×8×\frac{1}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出弦AB的長．