Question

14．設(shè)命題p：函數(shù)$f（x）={（a-\frac{3}{2}）^x}$是R上的減函數(shù)，命題q：x²+2ax+6a-8＞0對(duì)任意x∈R都成立．若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出命題p，q成立的等價(jià)條件，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：命題p：函數(shù)$f（x）={（a-\frac{3}{2}）^x}$是R上的減函數(shù)，則0＜a-$\frac{3}{2}$＜1，即$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{5}{2}$，
命題q：x²+2ax+6a-8＞0對(duì)任意x∈R都成立，
則判別式△=4a²-4（6a-8）＜0，即a²-6a+8＜0，解得2＜a＜4，
若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
則p，q為一真一假，
若p真q假，則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}＜a＜\frac{5}{2}}\\{a≥4或a≤2}\end{array}\right.$，得$\frac{3}{2}$＜a≤2，
若p假q真，則：$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{5}{2}或a≤\frac{3}{2}}\\{2＜a＜4}\end{array}\right.$，得$\frac{5}{2}$≤a＜4，
綜上$\frac{3}{2}$＜a≤2或$\frac{5}{2}$≤a＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題的應(yīng)用，根據(jù)條件求出命題的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．