Question

4．已知映射f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$）（m≥0，n≥0）．設點A（2，6），B（4，4），點M是線段AB上一動點，f：M→M′．當點M是線段AB的中點時，點M′的坐標是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）；當點M在線段AB上從點A開始運動到點B結束時，點M的對應點M′所經(jīng)過的路線長度為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由中點坐標公式得到M（3，5），由已知得到點M′的坐標是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
（2）求點M′的軌跡方程，根據(jù)范圍確定路徑的長度．

解答 解：（1）∵點M是線段AB的中點，由中點坐標公式，
∴M（3，5），由已知映射f：P（m，n）→P′（$\sqrt{m}$，$\sqrt{n}$）（m≥0，n≥0），
∴點M′的坐標是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
（2）設M′（x，y），則M（x²，y²），線段AB方程為：x+y=8（2≤x≤4）
∴對應點M′為x²+y²=8（$\sqrt{2}$≤x≤2，2≤y≤$\sqrt{6}$），
∴路徑為一段圓弧，圓心角為15°，
∴點M的對應點M′所經(jīng)過的路線長度為8π×$\frac{15}{360}$=$\frac{π}{3}$．

點評 主要考查軌跡問題，曲線與方程的運用，學生的靈活應用能力與計算能力．