Question

7．如圖，在半徑為2，圓心角為$\frac{π}{2}$的扇形金屬材料中剪出一個(gè)四邊形MNQP，其中M、N兩點(diǎn)分別在半徑OA、OB上，P、Q兩點(diǎn)在弧$\widehat{AB}$上，且OM=ON，MN∥PQ．
（1）若M、N分別是OA、OB中點(diǎn)，求四邊形MNQP面積的最大值．
（2）PQ=2，求四邊形MNQP面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，$\frac{π}{4}$），則∠POQ=$\frac{π}{2}$-2θ，且此時(shí)OM=ON=1，利用分割法，即可求四邊形MNQP面積的最大值．
（2）PQ=2，可知∠POQ=$\frac{π}{3}$，∠AOQ=∠BOP=$\frac{π}{12}$，利用分割法，即可求四邊形MNQP面積的最大值．

解答 解：（1）連接OP，OQ，則四邊形MNQP為梯形．
設(shè)∠AOP=∠BOQ=θ∈（0，$\frac{π}{4}$），則∠POQ=$\frac{π}{2}$-2θ，且此時(shí)OM=ON=1，
四邊形MNQP面積S=$\frac{1}{2}×2$sinθ+$\frac{1}{2}×2$sinθ+$\frac{1}{2}×2$×2sin（$\frac{π}{2}$-2θ）-$\frac{1}{2}$=-4sin²θ+2sinθ+$\frac{3}{2}$，
∴sinθ=$\frac{1}{4}$，S取最大值$\frac{7}{4}$；
（2）設(shè)OM=ON=x∈（0，2），
由PQ=2可知∠POQ=$\frac{π}{3}$，∠AOQ=∠BOP=$\frac{π}{12}$，
∴sin$\frac{π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴四邊形MNQP面積S=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$x+$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{3}$，
∴x=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，S取最大值為$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．