Question

19．在一個(gè)港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間相距12h，低潮時(shí)水的深度為8.4m，高潮時(shí)為16m．一次高潮發(fā)生在10月10日4：00．每天漲潮落潮時(shí)，水的深度d（m）與時(shí)間t（h）近似滿足關(guān)系式d=Asin（ωt+φ）+h．
（1）若從10月10日0：00開始計(jì)算，求該港口的水深d（m）和時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）10月10日17：00該港口水深約為多少？（精確到0.1m）
（3）10月10日這一天該港口共有多少時(shí)間水深低于10.3m？

Answer 1

分析 （1）設(shè)d=Asin（ωt+φ）+h，利用低潮時(shí)入口處水的深度為8.4m，高潮時(shí)為16m，求出h，A，利用兩次高潮發(fā)生的時(shí)間間隔12h，求出ω，再求出φ，即可描述這個(gè)港口的水深d（m）和時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）10月10日17：00，t=17，即可求出水的深度；
（3）d=3.8sin（$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$）+12.2≤10.3，即可求出10月10日這一天該港口共有多少時(shí)間水深低于10.3m．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{A+h=16}\\{-A+h=8.4}\end{array}\right.$，∴h=12.2，A=3.8，
∵T=12，
∴ω=$\frac{π}{6}$，
t=4時(shí)，4ω+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴d=3.8sin（$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$）+12.2；
（2）t=17時(shí)，d=3.8sin（$\frac{π}{6}$×17-$\frac{π}{6}$）+12.2≈15.5；
（3）d=3.8sin（$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$）+12.2＜10.3，
∴$\frac{7}{6}$π＜$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11}{6}$π，
∴8＜t＜12，
∴10月10日這一天該港口共有10h水深低于10.3m．

點(diǎn)評 本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，屬于中檔題．