Question

9．已知曲線方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）當(dāng)m=-6時(shí)，求圓心和半徑；
（2）若曲線C表示的圓與直線l：x+2y-4=0相交于M，N，且$|{MN}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=-6時(shí)，方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，可化為（x-1）²+（y-2）²=11，即可求得圓心和半徑；
（2）利用圓心（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離公式可求得圓心到直線距離d，利用圓的半徑、弦長之半、d構(gòu)成的直角三角形即可求得m的值．

解答 解：（1）當(dāng)m=-6時(shí)，方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，可化為（x-1）²+（y-2）²=11，
圓心坐標(biāo)為（1，2），半徑為$\sqrt{11}$；
（2）∵（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圓心（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
又圓（x-1）²+（y-2）²=5-m的半徑r=$\sqrt{5-m}$，$|{MN}|=\frac{4}{{\sqrt{5}}}$，
∴（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{5}}$）²=5-m，得m=4．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．