Question

6．若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若4比x²-3x接近0，求x的取值范圍；
（2）對(duì)于任意的兩個(gè)不等正數(shù)a，b，求證：a+b比$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$接近$2\sqrt{ab}$；
（3）若對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)x，實(shí)數(shù)a比$x+\frac{4}{x}$接近-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意得：|x²-3x|＞4，則x²-3x＞4或x²-3x＜-4，由此求得x的范圍．
（2）根據(jù)$a+b＞2\sqrt{ab}$，且$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}＞2\sqrt{ab}$，化簡(jiǎn)|$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$-$2\sqrt{ab}$|-|a+b-2$\sqrt{ab}$|的結(jié)果大于零，可得a+b比$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$接近$2\sqrt{ab}$．
（3）由題意$|a+1|＜|x+\frac{4}{x}+1|$對(duì)于x∈R，x≠0恒成立，分類討論求得|x+$\frac{4}{x}$+1|的最小值，可得|a+1|的范圍，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）由題意得：|x²-3x|＞4，則x²-3x＞4或x²-3x＜-4，
由x²-3x＞4，求得x＞4或x＜-1；由x²-3x＜-4，求得x無(wú)解．
所以x取值范圍為（-∞，-1）∪（4，+∞）．
（2）因?yàn)閍，b＞0且a≠b，所以$a+b＞2\sqrt{ab}$，且$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}＞2\sqrt{ab}$，
所以$|\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}-2\sqrt{ab}|-|a+b-2\sqrt{ab}|=（\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}-2\sqrt{ab}）-（a+b-2\sqrt{ab}）$
=$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}-（a+b）=\frac{{（a+b）{{（a-b）}^2}}}{ab}＞0$，
則$|\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}-2\sqrt{ab}|-|a+b-2\sqrt{ab}|＞0$，
即a+b比$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}$接近$2\sqrt{ab}$．　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）由題意：$|a+1|＜|x+\frac{4}{x}+1|$對(duì)于x∈R，x≠0恒成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，$x+\frac{4}{x}+1≥2\sqrt{x•\frac{4}{x}}+1=5$，當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，$（-x）+\frac{4}{-x}≥2\sqrt{（-x）•\frac{4}{-x}}=4$，當(dāng)x=-2時(shí)等號(hào)成立，所以$x+\frac{4}{x}≤-4$，則$x+\frac{4}{x}+1≤-3$，
綜上$|x+\frac{4}{x}+1{|_{min}}=3$．
故由|a+1|＜3，求得-4＜a＜2，即a取值范圍為（-4，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．