Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x≤2}\\{2-lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則ab+bc+ca的取值范圍是（　�。�

• A． （1，4）
• B． （2，4）
• C． （6，9）
• D． （7，9）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，設(shè)a＜b＜c，可得0＜a＜1＜b＜2＜c＜4，再由條件去掉絕對(duì)值，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得ab=1，bc=4，log₂a=log₂c-2，即有ab+bc+ac=ac+5，求得log₂（ac）的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x≤2}\\{2-lo{g}_{2}x，x＞2}\end{array}\right.$的圖象，
設(shè)a＜b＜c，可得0＜a＜1＜b＜2＜c＜4，
由f（a）=f（b）=f（c），
可得|log₂a|=|log₂b|=2-log₂c，
即為-log₂a=log₂b=2-log₂c，
即log₂a+log₂b=0，log₂b+log₂c=2，log₂a=log₂c-2，
即有ab=1，bc=4，
則ab+bc+ca=1+4+ac=ac+5，
由于log₂（ac）=log₂a+log₂c=2log₂c-2，
由2＜c＜4，可得0＜2log₂c-2＜2，
即有1＜ac＜4，即6＜ac+5＜9．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和運(yùn)用，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．