6.定義在R上的函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}(x=0)}\\{lg|x|(x≠0)}\end{array}\right.$,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有三個不同的實數(shù)解x1,x2,x3,則x12+x22+x32=20.

分析 設(shè)t=f(x),作出函數(shù)f(x)的圖象,根據(jù)關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有3個不同的實數(shù)解x1,x2,x3,得到t的取值情況即可求出結(jié)論.

解答 解:設(shè)t=f(x),則關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0等價為t2+bt+c=0,
作出f(x)的圖象如圖:
由圖象可知當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時,方程f(x)=$\frac{1}{2}$有三個根,當(dāng)t≠$\frac{1}{2}$時方程f(x)=t有兩個不同的實根,
∴若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0恰有3個不同的實數(shù)解x1,x2,x3,
則等價為t2+bt+c=0只有一個根t=$\frac{1}{2}$,
由f(x)=$\frac{1}{2}$得,x=0,或者lg|x|=$\frac{1}{2}$,
即得x=±10${\;}^{\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{10}$,
即三個根x1,x2,x3,分別為0,$\sqrt{10}$或-$\sqrt{10}$,
∴x12+x22+x32═0+10+10=20.
故答案為:20.

點評 本題主要考查方程根的個數(shù)的應(yīng)用,利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為二次方程,根據(jù)二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想.

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