Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（2，cos2C-1），$\overrightarrow{n}$=（sin²$\frac{A+B}{2}$，1）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大��；
（2）如果△ABC的外接圓的半徑為1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，化簡(jiǎn)求得cosC=$\frac{1}{2}$，從而求得C的值．
（2）由已知得c=（2R）sinC=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，由a²+b²≥2ab，即c²+ab≥2ab，得ab≤3．由此能求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴2sin2$\frac{A+B}{2}$+cos2C-1=0⇒cos2C+cosC=0，
∴2cos²C+cosC-1=0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，即C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的外接圓半徑為R=1，∠C=$\frac{π}{3}$，
∴c=（2R）sinC=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∵a²+b²≥2ab，即c²+ab≥2ab，
∴ab≤c²，即ab≤3．
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$≤$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴△ABC面積的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，余弦定理，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理的合理運(yùn)用．