Question

12．設(shè)函數(shù)f（x），對任意的實數(shù)x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上（　�。�

• A． 有最大值$f（\frac{a+b}{2}）$
• B． 有最小值$f（\frac{a+b}{2}）$
• C． 有最大值f（a）
• D． 有最小值f（a）

Answer 1

分析 可令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)；利用函數(shù)單調(diào)性的定義，先設(shè)x₁＜x₂得x₂-x₁＞0，結(jié)合題意得f（x₂-x₁）＜0，再結(jié)合（x+y）=f（x）+f（y）得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＜0，最后利用函數(shù)為奇函數(shù)得到f（x₂）-f（x₁）＜0，得到函數(shù)為R上的減函數(shù)．由此不難得到正確選項．

解答 解：對任意的實數(shù)x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，可得f（0）=2f（0），即f（0）=0，
再令y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)；
任取x₁＜x₂，即x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f （x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
即f（x₂）+f（-x₁）＜0；
∵f （x）是奇函數(shù)，
∴有f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R上遞減．
∴f（x）在區(qū)間[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）．
故選：C．

點評 本題以一個抽象函數(shù)為例，考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷與運用，屬于中檔題．